問題略解

問題 1   例えば、コンピュータ、脳、 通信プロトコル、列車の運行、訴訟、 化学反応(分子一つ一つに着目した場合)など。

問題 2   　

1. $t_1$ と $t_3$ と $t_4$

2. $t_1$ の発火の結果は $[1\,2\,1\,0]^T$、 $t_3$ の発火の結果は $[2\,4\,0\,2]^T$、 $t_4$ の発火の結果は $[3\,0\,1\,0]^T$。

3. $t_1$ と $t_4$

問題 3   例えば、図11のペトリネット。

図 11: 自動販売機のモデル2

問題 4   　

1. 可達である。$m_0$ から $m_f$ に遷移する発火系列は、 $t_3t_3t_3t_1t_1$、 $t_3t_3t_1t_3t_1$、 $t_3t_1t_3t_3t_1$、 $t_1t_3t_3t_3t_1$ のいずれか。

2. $t_1$、$t_2$ は活性でない。 $m_0$ から可達なマーキング $m_d=[0\,0\,1\,3]^T$ から可達なマーキングで $t_1$、$t_2$ が発火できるものは存在しない。 $t_3$ は活性である。$p_4$ のマーキングはけっして0にならない。

3. $p_1$ は非有界、$p_2$ は2有界、$p_3$、$p_4$ は3有界である。

問題 5   発火可能のための条件が考慮されていないこと、 発火回数ベクトルは発火の順序を考慮していないことによる。

問題 6   接続行列は以下のとおり。

$$A^-= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 ... ... & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

$t_1$ が発火可能であるための条件は、

$$A^- u_1 = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & ... ...\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] (=m_0)$$

より、満足されている。$w=t_1t_4$ の発火の結果のマーキングを $m$ とすれば、

$$\begin{eqnarray*} m&=&m_0+A(u_1+u_4)= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ ... ...& \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

問題 7   $x_1=[1\,1\,0\,1]^T$、 $x_2=[1\,0\,1\,1]^T$ として、 Tインバリアントは、 $x=a_1x_1+a_2x_2$ ($a_1\geq 0$, $a_2\geq 0$)で表される任意のベクトル。 $y_1=[1\,0\,0\,1]^T$、 $y_2=[0\,1\,1\,1]^T$ として、 Sインバリアントは、 $y=b_1y_1+b_2y_2$ ($b_1\geq 0$, $b_2\geq 0$)で表される任意のベクトル。

問題 8 (a)   マークグラフ(自由選択ネットでもある)、 (b)マークグラフ、状態機械、自由選択ネットのいずれでもない、 (c)自由選択ネット、(d)状態機械(自由選択ネットでもある)